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# re: ポアンカレの予想 2007/10/21 23:03 やじゅ

録画しとこ。

やばい、「ポアンカレ」が
「ボンカレー」に脳内置換
されてしまう(^^;

# re: ポアンカレの予想 2007/10/21 23:16 επιστημη

ボンカレー予想:
「三次元カレー皿の上の任意のボンカレーを一点で巻き取って絞るとき、出てくる単連結肉塊の数は高々2である」

# re: ポアンカレの予想 2007/10/22 0:22 επιστημη

↑40年前の発売当時から経験的に知られていましたが、未だ証明されていません。
が、その反例(3個以上の肉塊の発見)も示されていないため、おそらく真であろうとされています。

# re: ポアンカレの予想 2007/10/22 10:35 ながせ

う…録画機がない orz

HDDレコーダーを無理してでも買っておけばよかった。

# re: ポアンカレの予想 2007/10/22 11:29 IIJIMAS

あのー、たぶん録画しなくてもOKなのですが…

今日NHK総合でやるのは実は先日BS hiでやった２時間番組のを１時間に再構成してやるようなので無理にそれを見なくても…（少し違う内容もあるかもですが…）

ヒント：επιさんのエントリ

…でもあのサイト著作権とかどうなのかな…

# re: ポアンカレの予想 2007/10/22 16:06 凪瀬

まぁ、あまり公言するのは憚られるのは確か。
法的にはダウンロード側では罪に問われないですが、
アップロード側が違法なのはまず間違いなく、
それを期待すること自体が褒められたことではないので。

最近、取締りを強化する旨の声明を出していたので、
早晩対策されることでしょう。
というか、しないと各方面からの圧力で潰されそうだｗ

# re: ポアンカレの予想 2007/10/23 0:25 IIJIMAS

結局、NHK総合のも見たのですが、ただ縮めただけではしょりすぎでした。
もともとわかりにくいもんなのに、さらに分かりにくくなっています…orz
なんで、NHK総合で２時間の方やんなかったのかと…

# re: ポアンカレの予想 2007/10/23 22:10 ながせ

2時間やるのには、興味がある人があまりにも少ないのかもしれません…。個人的にはこういうのはバンバンやってほしいんだけど。

# re: ポアンカレの予想 2007/10/23 23:20 IIJIMAS

NHKなんだから、視聴率を民放ほど気にしなくても…
もう明日深夜総合で１時間版再放送なのでこれ再放送するぐらいなら、総合で２回に分けて２時間版やってほしいです(^^;

# re: ポアンカレの予想 2007/11/10 23:36 IIJIMAS

くどいですが…明日BS2で再放送だそうです！

http://www.nhk.or.jp/special/rerun/index.html
引用↓
-------------------------------------------
2007年11月11日（日）　午前10時～　BS2 ※あなたのアンコールサンデー内
前番組「日曜討論」が延びた場合は、「ＮＨＫスペシャル」の59分バージョンを、延びなかった場合は、「ハイビジョンスペシャル」の109分バージョンが放送されます。
-------------------------------------------
ちょっとNHKさん…
何そのConditional…

# [思いつきクイズ]ヤマタノオロチの頭は本当に８つ？ 2007/11/11 0:58 IIJIMASが勉強しようとしています。

[思いつきクイズ]ヤマタノオロチの頭は本当に８つ？

# re: ポアンカレの予想 2007/11/21 23:50 catbird

ポアンカレ予想は『地球からロープを付けロケットに乗り、宇宙を旅行し地球に帰った時、ロープの両端がある。そのロープの両端を離さないで、ロープを引き寄せられた時、この宇宙はおおむね丸いと言えるか。』という問題です。これは3次元閉多様体（3次元の縁の無い一枚の面）の中で、球体以外にロープの引っ掛らない形があるかと言う問題です。3次元閉多面体は、一つの輪を移動させ始めの位置に戻すことで作れます。輪には3つの形があります。○（丸形）・∞（無限大形）・◎（文字が無い為便宜上◎を使用する＝一筆書きで二重丸を書いた形）です。輪の動かし方は①輪が左右対称になる様な軸を取り、その軸を中心に回転させ元の輪の位置に戻す方法、（○の輪の場合球体。）②輪を外の点を中心として、一回転させ元の位置に戻す方法、（○の輪の場合、ドーナツ形。◎の輪の場合は、ドーナツの内側に穴に沿ってもう１つドーナツのある様な形。∞の輪の場合はドーナツの外側に穴に沿ってもう１つドーナツのある様な形。）③輪を輪の外の点を中心として、半回転させ、途中で引き返し、元の輪の位置に戻る方法、（○の輪の場合、ホースの口と口を同じ方向に向けて合わせた形＝クラインの壷になります）です。ただ途中の動かし方が②③には3種類あります。②は前記方法と、回転の途中で引き返しながら大きくし、進みながら小さくして元の位置に戻す方法（ドーナツの外側にもう１つのドーナツが縦の切り口に沿ってある様な形）、逆に途中で輪を引き返しながら小さくし、また戻りながら大きくして元の位置に戻す方法（ドーナツの内側に縦の切り口に沿ってもう１つのドーナツがある様な形）です。③は、移動の途中に②の場合と同じ動きを入れる方法です。クラインの壷の途中に（内も外も連続しており同じ）、縦の切り口に沿ってもう１つのドーナツがある様な形になります。以上8種類の形があります。そして、ロープを回収できるのは球体のみです。

# re: ポアンカレの予想 2007/11/22 0:54 IIJIMAS

catbirdさん

あなたの目的は何でしょうか。ポアンカレ予想を自分なりに説明することでしょうか？突っ込んでほしいのでしょうか？

一方的にだらだら書かれても何を答えればいいのかわかりません。
私も人のこと言えないのかもしれませんが、図も数式もないとなかなかおっしゃりたいことが適切に伝わりません。

余計なお世話かもしれませんが、適切な改行や段落もないと他の人は読む気を失います。

＞これは3次元閉多様体（3次元の縁の無い一枚の面）

３次元だから面ではないのでは？

＞3次元閉多面体は、一つの輪を移動させ始めの位置に戻すことで作れます。

ほんとでしょうか？
”多面体”は面の奇跡です。１次元の輪の軌跡ならば２次元の面ではないでしょうか？

＞輪には3つの形があります。

輪ゴムを動かすとわかりますが輪の形は非可算無限個あると思いますが。
交点数の同値類でも可算無限個あるんぢゃないですか？
同相類だと１つだけです。

また、∞は多様体ではないです。自己交差の近傍のところでユークリッド空間と同相ではありません。よってこの奇跡の２次元図形も多様体ではないです。

おっしゃっている構成では、２次元の曲面や自己交差のある２次元図形ができます。
それが８種類というのは何も本質的なことはいっていないのでは？
もとの輪が3つの形しかないというのがおかしいので…

そもそも２次元図形はどう転んでも３次元の「球体」にはなりません。

たしかに２次元の曲面（の同相類）は完全に分類できて、ロープを回収できるのは「球面（の同相類）」だけですが。

# 星の数が３つに♪ 2007/12/26 0:16 IIJIMASが勉強しようとしています。

星の数が３つに♪

# re: ポアンカレの予想 2008/02/23 2:25 catbird

3次元閉多様体（3次元ユークリッド空間）の中にある全ての「ループ＝輪ゴム」を一点に収縮出来た時（＝「パイワンが消えた時」）、球体と同相と言えるかと、ポアンカレは問題を提起している。例えば、ドーナツ形では、輪ゴムはドーナツの穴に引っ掛り、一点に縮むことは出来ない。3次元多様体の分類をいきなり考えるのは難しい。そこで2次元多様体（端の無い一枚の面）の分類について考えてみる。以前私が示した様に、2次元閉多様体は、Ⅰ～Ⅷまでの8つの形に分類出来る。そして、その一枚の面の内面上にある「輪ゴム」をその面上で伸縮・交差・すり抜けさせ加工して、面に引っ掛からず一点に縮むのは、球面のみであることが分かった。この事実を、3次元閉多様体に応用してみよう。2次元閉多様体では「輪ゴム」は、内側の面上のみ移動出来る。3次元閉多様体では「輪ゴム」は、その表面を離れ空間の内側を自由に移動できる。その点が異なるのみである。表面の内面上にある「輪ゴム」の内、一つでも面に引っ掛り、一点に縮むことが出来ない時は、その3次元閉多様体を除外して良い。2次元閉多様体の内、以前私が示したドーナツ形・縦（ドーナツを横たえて置いた場合）内側に折り返せない線の出来るドーナツ形・縦外側に折り返せない線の出来るドーナツ形では、輪ゴムを面から離し内部の空間内を移動・伸縮・すり抜けさせて加工しても、輪ゴムの輪の中にドーナツの穴が存在する為、一点に収縮させることは出来ない。また、横内側に折り返せない線の出来るドーナツ形・横外側に折り返せない線の出来るドーナツ形・クラインの壺・縦（クラインの壺を横たえて置いた場合）に折り返せない線の出来るクラインの壺（内側と外側が連続する為、ドーナツ形の様に内側外側の区別はない）の形では、同様に空間内で加工しても、輪ゴムの輪の中に端の無い一枚の面が存在する（端が無いので輪から外すことが出来ない）為、一点に収縮させることは出来ない。即ち、「球体」以外では、面上で移動しようと、面を離れて内側の空間内を移動しようと、決して一点に収縮しない「輪ゴム」が存在することが分かる。3次元閉多様体の表面の形状が問題なのであり、内部の空間の構造には影響されない。3次元閉多様体の表面は、2次元閉多様体に完全に含まれる。従って輪ゴムが一点に収縮する3次元閉多様体は、球体のみであることが、証明出来る。

# re: ポアンカレの予想 2008/02/23 3:53 catbird

輪には3つの形があります。○（丸形）・∞（無限大形）・◎（一筆書二重丸・文字が無い為便宜上◎を使用する＝一筆書きで二重丸を書いた形）です。この3種の輪は平面上で幾ら動かしても、他の輪にはなりません。∞を幾ら○にしようとしても、折り返せない裏返った点が一点外側に残ります。◎を○にしようとしても、折り返せない裏返った点が一点内側に残ります。従って、輪を移動させる途中で他の輪になることはありません。ではご指摘の様に、∞にもう一捻りを加えた三つの丸い部分のある形はどうでしょうか。これは、平面上で○になります（輪ゴムで考えると、容易に線がすり抜けて○になることが分かります）。丸い部分が偶数なら∞になり、奇数なら○になります。一筆書き三重丸は平面上で○になります（究極的考えると、折り返せない裏返った2つの点と点の間に通常の表を向いた点がある状態になり、両側の裏返った点をひっくり返すと、間の表を向いた1つの点は2度ひっくり返ることになり、3点とも表を向きます）。四重丸は内側に折り返せない裏返った点が一点残り（三重丸と同じ方法で思考して下さい。）◎と同相です。この場合、丸が偶数なら◎に、奇数なら○になります。従って、輪の種類はこの3種類しかありません。

# re: ポアンカレの予想 2008/02/23 4:00 catbird

ご指摘のように、2次元閉多様体は2次元の曲面に含まれ、3次元閉多様体の表面は2次元閉多様体に含まれます。従って、2次元の曲面について言える事は、3次元閉多様体の表面についても、当てはまります。前記の通り、3次元閉多様体の表面の形状が問題なのであり、内部の空間の構造には影響されないのです。従って、3次元閉多様体の表面について言える事は、3次元閉多様体についても言えるのです。従って輪ゴムが一点に収縮する3次元閉多様体は、球体のみであることが証明出来るのです。

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