塵も積もれば山
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たまには頭の体操を。
ある数を特定の数で割り切れるか、を調べる方法の話です。
例えば、2で割り切れるか、は偶数かどうか見ればよいので下1桁が偶数かどうかみます。同様に5で割り切れるかも、下1桁が0か5か見ればよいです。
他に有名なのは3で割り切れるかですね。各桁の数字を足していって、その合計が3で割り切れれば元の数も3で割り切れます。これも同様に各桁の合計が9で割り切れれば、元の数も9で割り切れます。
さて…これを踏まえて…。ある数が37で割り切れるか調べる簡単な方法を考えてください。
投稿日時 : 2009年7月22日 12:32
#手で計算して気づいた。 まず、3桁のぞろ目。 それ以外については調べ方が思いつきません(・ω・;)
4桁までなら。 ・数字を2桁ずつに分ける(7918 → 79 18) ・それぞれについて、37で割った余りを求める(5 18) ・先のほうの数字を11倍して、そこから後のほうの数字を引く(5*11-18 = 37) 出てきた数字なら37の倍数ならおっけー。
37で割ってみる。 多分みきぬさんのやり方より早そうな…(汗
一般化できたような。 ・数字を2桁ずつに分ける(2059235 → 2 05 92 35) ・それぞれについて、37で割った余りを求める(2 05 18 35) ・順序をひっくり返す(35 18 05 2) ・これを足していく。(35-18*11+5*10+2 = -111) -3n-2番目の数字はそのまま足す。(n≧1) -3n-1番目のは11倍して引く。 -3n番目のは10倍して足す。 出てきた数字が37の倍数ならおっけー。
もっと簡単にできたorz ・数字を3桁ずつに分ける(4568427 → 4 568 427) ・それぞれを足した合計が 37 の倍数ならおっけー。
>ある数が37で割り切れるか調べる簡単な方法を考えてください。 「37で割り切れるある数をすべて」ではなく 「ある数が37で割り切れるか」なら割ってみればOKですね。
・ぞろ目はたぶん37の倍数である。(証明してませんが・・・) ・”ある数”に最も近いぞろ目の値から+/-37を何回か繰り返して、”ある数”になればOK ってのはどうでしょう。
と思ったけど、3桁の場合以外はぞろ目になってませんねorz
3桁のゾロ目は111の倍数。 111 = 37 x 3 であるから、111の倍数なら37の倍数でもある。 なので3桁ゾロ目は37の倍数。
昨日の証明。 x を、0以上999999以下の整数とします。 0以上999以下の整数a, bを使ってこう表すことができます。 x = 1000a + b ここで、999は37の倍数なので、 x = 1000a + b = 999a + a + b = 37 * 27a + a + b こう書けます。 つまり、a+bが37の倍数であれば、xも37の倍数ということになります。 7桁以上の場合も同様ということで。
999が37の倍数って事で、3桁ごとに区切って足せばいいですね 最初は11だったけど、意図が見えにくいように37にしました
11の場合、2桁ごとに区切って足す以外にも求め方がありますね。 奇数桁と偶数桁に分けて、奇数桁の数字は足して、偶数桁の数字は引いていきます。 その合計が、11の倍数であればOKです。 例:81829 → 8-1+8-2+9 = 22 よって11の倍数。
>a+bが37の倍数であれば、xも37の倍数ということになります 「ある数が37の倍数かどうか調べる」のに、 「違う数が37の倍数かどうか見る」工程いるんだったら 「最初からある数が37の倍数かどうか見ればいいじゃん」 と思う。
> 「最初からある数が37の倍数かどうか見ればいいじゃん」と思う。 問題文に「さて…これを踏まえて…。」以前の部分がなければ、それでもいいでしょうね。
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