虚数は一つなのか…。
そもそも、虚数というのは目で見えない数です。
同じ数を2回掛けたら－１になる数が、今使われているi の他にあるんじゃないか？
とりあえず、それをj とします。
そして、i とj を掛けたときを計算します。
途中ぶっ飛ばしてますが、i とj を掛けた結果も－１という事がわかります。
これでは、i とj を２つ作って分けた意味がないですね。
ところが、もうひとつ、k という新しい虚数を加え、虚数は３つあった！という事にするとうまくいきます。
これを１つの実数と３つの虚数、全部で４つあることから四元数（クォータニオン）といいます。
先ほどの問題、i とj を掛けるともうひとつの文字、k になる、という風に法則を作ります。
しかし、これにはからくりがあって、こんな式も存在します。
そう、計算式の前後を入れ替えると結果が変わります。
四元数は交換法則が成り立たないという条件でようやく成立する世界で、
もし、交換法則を成り立つように作ると虚数が１つしか存在できません。
四元数のさらに上には八元数、十六元数というものがありますが、
そのたびに今まで使えていた法則が使えなくなってきます。
例えば、八元数は結合法則が成り立ちません。
結合法則が成り立たない、と言うことは計算の順序をかえてはいけない、と言うことです。
四元数は3D空間における回転、姿勢制御などに使われているのですが、
八元数以上となると理論はあるものの、使い道がないそうです。
次回は、複素数でも埋められなかった穴の話です。