自然数と足し算だけの世界から、こんな計算を行う必要がありました。
□＋３＝５ □に入る数はなに？
ここで、足し算の逆をする計算が出てきます。
引き算ですね。
「繰り返す」の次は「逆を行う」という方法で計算方法が増えていきます。
足し算からは引き算、掛け算からは割り算、累乗（ダガー表記）からは根です。
最後の根は平方根、立方根という名前の方が有名でしょう。
しかし、自然数しかない世界から新しい数を作らなければならなくなります。
たとえば、引き算ができたことで、「３－５」の結果はどうなるのかわからなくなりました。
ここで、マイナスの数という物導入し、「３－５」には－２を割り当てることにしました。
「足し算の逆を作ったら、負の数という新しい数が出来た」
これは、掛け算の逆にも言えます。
５÷２は２．５、または
です。
これは整数の範疇にない数であり、またもや新しい数ができる、という訳です。
最後は累乗、ここでは二乗すると２になるという無理数や、
二乗すると－１になる虚数が登場しました。
虚数とそれまで発見された数（実数）をあわせて複素数と言うのですが、
複素数は数の拡張を終わらせてしまいました。
終わらせた、というのはこれ以上数を拡張する必要がなくなった、という意味です。
例えば…「二乗すると虚数になる数」や「虚数の虚数乗」という
一見そんなのあるの？と思ってしまう数ですら複素数の範疇で計算できてしまうわけです。
式で表すとこんな感じです。
なぜこんな値になるのか、ってのは教科書数冊分になるので飛ばします。
ただし、「複素数さえあればこれ以上数の拡張をしなくて済む事になった」ってことです。
逆に、「これ以上数を増やさずに済んだ」事と、
先程上げたような不思議な式ですら計算出来た、と言うことが虚数を受け入れられた理由の一つです。
次回は、もう一つの複素数のお話。
今回ついてこれなかった人も原点から別の角度で解説します。