問題編はこちら＞ [数学]銀貨と正しき天秤(問題編)
まず、天秤というのは右が重い、釣り合う、左が重いという3種類の答えしか返りません。
つまり、1回の測定では3通りの答えから1つの道を示すのが限度なのです。
この天秤問題は解答候補をすべて出し、
天秤のパターンによって解答候補を消去しながら正解を求めていく問題なのです。
つまり、天秤を使うときはうまく解答候補がばらけるように工夫する必要があります。
綺麗に分けることができれば、理論上は2回で9通り、
3回で27通りの解答パターンから正解を選ぶことが出来ます。
(1)は27枚です。
これは理論上綺麗に分かれるパターンですね。
やりかたは9枚づつ左右に乗せ、正解のグループがわかったら
そこから3枚左右に乗せ、最後に1枚づつ左右に乗せればいいです。
(2)は13枚です。
軽いか重いか解らない、ということは、2通りあるということです。
まず、天秤に乗せる枚数を考えましょう。
(1)のように9枚づつ乗せてしまうと、右が重かったときに
重い疑惑銀貨9枚、軽い疑惑銀貨9枚で18通りから正解を選ばなければいけません。
残り2回で判定できるのは9通りまでなので、18通りもあれば無理です。
そこで、9通り以下ということで4枚づつ、計8枚ということになります。
釣り合わなかったら、重い疑惑銀貨4枚、軽い疑惑銀貨4枚となります。
次は左右に重い疑惑銀貨2枚づつ、軽い疑惑銀貨1枚づつ、全部で6枚の銀貨を天秤に乗せます。
残された銀貨は軽い疑惑銀貨2枚です。
この天秤が釣り合わなかったら、重い疑惑銀貨2枚、軽い疑惑銀貨1枚となり3通りに絞れます。
釣り合えば軽い疑惑銀貨2枚ですから、2通りで絞れます。
後は簡単なので割愛します。
さて、最初の4枚づつ乗せた天秤が釣り合ったら、乗せてない銀貨のどれかが偽銀貨です。
9通りに絞るには乗せてない銀貨は4枚…と思いますが、実は5枚までいけます。
まず、天秤に乗せた銀貨はすべて本物ですから、これを利用しましょう。
本物から3枚、疑惑銀貨を3枚天秤に乗せ、
この3枚に含まれているか、含まれているなら軽いか重いかを調べます。
釣り合わなかった場合は割愛します。
釣り合った場合、重いか軽いか解らない銀貨が2枚。
どっちかが偽銀貨ということは、片方の1枚を本物と比較すれば解ります。
さて、10通りなのになぜ偽銀貨が見つかるのか。
それは天秤に一度も乗せられなかった偽銀貨は重いか軽いかわからないままだからです。
ここで10通りに見せかけて9通りに丸め込まれているわけです。
結果、最初の天秤に乗せる8枚と残された5枚で13枚です。
予断ですが、本物銀貨と同じ重さのおもりが9個あれば、
最初の天秤で右に銀貨9枚、左はおもりとできますので、14枚まで調べることが出来ます。
(3)は4回です。
答えは何通りあるか考えます。
2個が赤、6個が白のボールの並べ方、って問題と同じです。
答えは、8×7÷2=28 です。
28ということは、27通りより大きい上、(2)のように丸め込むことも出来ません。
ということで、どうやっても3回では無理、ということで4回です。
4回使ってもいいとなれば、やり方はいくらでもあるので割愛します。